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B. L. van der Waerden (auth.)'s Algebra I PDF

By B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 364285527X

ISBN-13: 9783642855276

ISBN-10: 3642855288

ISBN-13: 9783642855283

Der Autor wurde am 2.2.1903 in Amsterdam geboren. Im Jahre 1924 ging er als scholar nach Göttingen und wurde dort mit Emmy Noether und der abstrakten Algebra bekannt. Sein Hauptinteresse galt damals vor allem der Begründung der algebraischen Geometrie mit Hilfe der neuen algebraischen Methoden. Als er im Jahre 1926 als junger Doktor mit einem Rockefeller-Stipendium nach Hamburg kam, hatte er Gelegenheit, eine didaktisch hervorragende Algebra-Vorlesung von Emil Artin zu hören. Die Ausarbeitung, die er von dieser Vorlesung machte, wurde zum Kern des vorliegenden Werkes. Es erschien zuerst 1930 bis 1931 unter dem Titel "Moderne Algebra" in der Sammlung "Grundlehren der mathematischen Wissenschaften". In der Folge wurde das Werk in die englische, russische und chinesische Sprache übersetzt. Im Jahre 1928 wurde der Autor Professor an der Universität Groningen. Seit 1951 lebte und arbeitete er bis zu seiner Emeritierung in Zürich als Professor an der dortigen Universität. Heute lebt er in Zürich.

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1st CI C2 = Ca oder CIC2 = Ca in ffi, so folgt daraus fiir beliebige bi 0, b2 und ba = bi b2 : '*' + '*' ° c1b1 T + C2b2 _ -,;;- - clb1b2 + C2b1b2 b1 b2 C3 b3 T bzw. C3 b3 =T· Die zugeordneten Briiche ~:i genau so wie die Ringelemente addieren und multiplizieren sich also Cl: sie bilden einen zu ffi isomorphen Bereich. Demnach konnen wir die Briiche c: durch die entsprechen- den Elemente c ersetzen (§ 12, SchluB). Dadurch erreichen wir, daB der Korper den Ring ffi umfaBt. Damit ist die Existenz eines umfassenden Korpers zu jedem 1ntegritatsbereich ffi bewiesen.

Mit der Addition als Verkniipfung bilden eine unendliche zyklische Gruppe. Die oben angeschriebenen Gruppen ®2, 2(3 sind zyklische Gruppen der Ordnungen 2,3. Aufgaben. 1. Es gibt zyklische Permutationsgruppen beliebiger Ordnung. 2. Man beweise durch Induktion nach n, daB die n - 1 Transpositionen (12), (13), ... , (1 n) fUr n > 1 die symmetrische Gruppe 6 n erzeugen. 3. Ebenso, daB die n - 2 Dreierzyklen (1 23), (1 24), ... n erzeugen. Wir wollen nun aIle Untergruppen der zyklischen Gruppen bestimmen.

In einem Ring mit genau n Elementen ist fiir jedes a n·a=O. [Vgl. ] 7. 1st a mit b vertauschbar, d. h. ist ab = ba, so ist a auch mit - b, mit nb und mit b- 1 vertauschbar. 1st a mit b und e vertauschbar, so auch mit b e und mit be. + Korper. Ein Ring heiBt ein Schielkorper, wenn a) er mindestens ein von Null verschiedenes Element enthalt, b) die Gleichungen { ax=b, (3) ya= b fiir a 9= 0 stets losbar sind. Ringe 39 1st der Ring auBerdem kommutativ, so heiBt er ein Korper l oder Rationalitiitsbereich (englisch: field).

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Algebra I by B. L. van der Waerden (auth.)


by Ronald
4.2

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