Science Mathematics

# New PDF release: A Course in Pure Mathematics (Unibooks)

By Margaret Gow

ISBN-10: 0340052171

ISBN-13: 9780340052174

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Extra resources for A Course in Pure Mathematics (Unibooks)

Sample text

Daß die derart hergestellte Funktion u andererseits die einzige Lösung des Problems ist, ergibt sich durch einen Beweis, der dem in Nr. 18 gegebenen nachgebildet werden kann. , welche entsprechen, die volle bei der Abbildung G-+ K den Randbogen Kreisperipherie I x I = 1 ausfüllen. Das harmonische Maß der ganzen Berandung Fist konstant gleich 1. Nach obigem gestattet es andererseits die Darstellung r. 1_/ 1 __ - 1-r 2 2:n. 1+r2 -2rcos({}-tp) d{} ' y~ und es wird demnach für r = 0 j d{}= 2n, y~ woraus zu ersehen ist, daß das Maß der Bogen Betrag 2 n erreicht.

18. Es soll noch gezeigt werden, daß das PorssoNsche Integral u(z) die einzige für Iz I< 1 beschränkte Lösung des vorgelegten Randwertproblems darstellt. Sei in der Tat ~ (z) eine gegebene solche Lösung; die Differenz v (z) = u (z)- u 1 (z) definiert dann eine für Iz I< 1 harmonische und beschränkte Funktion, welche in jedem Randpunkt C verschwindet, außer möglicherweise in den Unstetigkeitsstellen C1 , . . , Cn der Randfunktion u (C), in deren Nähe sie jedenfalls beschränkt bleibt. Die Anwendung des Prinzips über das Maximum und Minimum einer harmonischen Funktion zeigt nun, daß die Differenz v (z) identisch verschwindet, womit die Unität der Lösung der Randwertaufgabe bewiesen ist.

1 2 r r (~) GREENsehe Funktion und harmonisches Maß. 29 Gebrauch machen, wo U und V in G zweimal und auf dem Rande r einmal stetig differenzierbare Funktionen sind, ds das Bogenelement von rund d (J das Flächenelement von G bezeichnet; L1 bedeutet den LAPLACEschen Operator und die Ableitungen links sind nach der inneren Normale von zu nehmen. Für U (z) setze man die oben konstruierte Funktion u (z) ein; als Funktion V (z) nehme man die GREENsehe Funktion g (z, z0) von G. )_ds. (3) r. 25. Setzen wir speziell die Randkurven analytisch an und halten die für die Gültigkeit der Formel (3) nötigen Voraussetzungen über das Verhalten der Funktion u (z) auf aufrecht, so können wir diese Formel auf eine einfachere Form bringen, wenn wir die zu g(C, z) konjugierte harmonische Funktion in bezugauf die Veränderliche C einführen.